基础数学/概率论与数理统计


学科简介

1996年,安徽大学“基础数学/概率论与数理统”学科被批准为省级重点学科。重点学科的建设取得了一大批科研成果,共获国家自然科学基金、教育部重点项目基金、科技部重点项目基金、中国博士后基金、省自然科学基金、省教育厅基金等40多项基金的资助,资助额度达200多万元。发表论文300多篇,其中SCI收录37篇,EI收录22篇,ISTP收录9篇。出版专著和教材38部。获得4项省部级奖励。重点学科的建设培养了一大批年青骨干,催生了一批新的学科生长点,对学院的教学、科研、人才培养等起着强有力的保障与支撑作用,特别是“基础数学”博士点和数学一级学科硕士点的获准设立。

本学科主要研究方向:

一、代数学。本方向主要研究代数学中的若干前沿课题和热点问题,包括:代数表示轮与代数群,代数图论和代数组合论,组合矩阵论和数值代数。

目前,代数表示论的工作重点已转移到无限表示型代数上。由Ringel和Crawley-Boevey等人发现的占有重要的控制地位的无限维不可分解模-Generic模引起了高度的重视。我们在这一重要领域取得了具有重要意义的研究成果。彻底解决了Tame遗传代数扩张代数的Generic表示的分类问题;考虑了与著名的Nakayama猜想等价的Tachikawa猜想,利用一类特殊函子对于一类扩张代数证明了猜想T2的正确性并肯定地回答了Auslander提出的一个问题。对一般扩张代数 ? 的Generic表示问题也有很有价值的结果,在这方面国内目前仅有我们的工作。

由Happel的贡献,倾斜函子技巧与导出范畴理论是本质相关的,所以,现在倾斜函子与倾斜模不但流行于代数表示论的研究内部,而且在代数群和量子群等方面的研究中也不断被引用。这一领域将是今后一段时期内代数表示论的热点研究领域。本研究方向成员在平凡扩张代数、对偶扩张代数和 ? 型代数的倾斜模的刻划方面以及代数的导出等价方面都取得具有重要意义的研究成果。刻画了这些重要代数类的倾斜模及其导出的扰理论,分裂扰理论,并解决了导出等价代数的扩张代数的导出等价问题,部分结果在2000年美国数学会第951次会议等作过报告,受到国际同行专家Ringel教授和Zimmermann教授的重视。

在代数图论中谱图理论方面,我们首次提出“Spectral Integral Variation(谱整性变化)”的新概念,并利用该概念讨论图的谱扰动以及整图的构造,刻画了度极大图和混合图的一类谱整性变化,国际同行专家Kirkland(加拿大), Barik(印度)等人已就谱整性变化问题展开研究;我们获得了一类混合图的极端特征值及其特征向量的组合结构性质,为混合图的拓扑结构分析提供代数方法,这项工作在国际上是一个开创性的工作,审稿人对此评价为:“makes a good contribution to the Laplacian matrix of a mixed graph (为混合图的Laplacian 矩阵做了一个好的贡献)”。在组合矩阵论的研究中,关于完全正矩阵的工作跟踪并同步与国际这一方向的研究,论文“Completely positive matrices”在国际著名出版公司Elsevier的2004年1-8月的所有代数期刊论文的检索下载排名中名列第5,在其所刊登的期刊Linear Algebra Appl.的论文下载中名列第3,足见我们的工作受到国际同行的重视。在数值代数的研究中,明确地给出了插值问题与矩量问题解集之间的一一对应关系,所用的Hankel/Toeplitz向量方法在国际上是首创的,并成功获得了若干函数类中的解析函数插值问题的可解性准则、解唯一性准则、多解时的参数化表示。

研究成果分别发表在Comm. In Algebra,Asian J. Math., Algebra Colloquium, Siam J matrix anal. Appl., Linear Algebra Appl., Linear and Multilinear Algebra, 中国科学,数学年刊,数学学报等重要学术刊物上,许多结果已被SCI等检索。研究工作“非负矩阵论及表示论”曾获国家教育部科技进步三等奖和安徽省高校科技进步二等奖。本方向的研究也多次得到国家自然科学基金, 教育部科学技术研究基金和安徽省自然科学基金的资助。

二、泛函微分方程。本方向主要研究泛函微分方程中的若干前沿课题和热点问题,包括:退化时滞微分系统,泛函微分方程的单调半流理论,泛函微分方程的概周期解,多项式系统的定性理论等。

我们对具时滞的退化系统,得到了具有特色的时变退化时滞微分方程的变易公式、退化时滞微分方程的通解公式,以及退化中立型微分系统的常数变易公式和通解,建立了公认的解的基础理论;并对具时滞的退化控制系统的能控性、可观测性,镇定性, 稳定性, 最优控制和Hopf分支等热点问题建立了具体的判据;明确地刻画了一直困扰人们的退化时滞微分方程的特征值分布状况。在抽象空间中的泛函微分方程的研究中,利用度理论建立了抽象半线性泛函微分方程正解和周期解的存在性,构造出参数边值问题解的迭代格式,建立了系统最大、最小解的存在性;建立了抽象无穷时滞泛函微分方程的可控性;利用单调动力系统理论,获得泛函微分方程解的渐近性态,建立了三类典型泛函微分方程周期解的存在性和稳定性。此外,在时滞微分方程的概周期解、强平均解的研究上,使用不动点和积分平均方法得到了一些较为实用的判定定理;在多项式系统的定性理论方面,通过巧妙构造Dulac函数,获得极限环的存在性的判据。本方向开展的一系列颇具特色的研究工作为微分方程理论研究开拓了崭新的研究领域。

上述研究成果大多发表在Proc. Amer. Math. Soc., Nonlinear Anal., J. London Math. Soc., Comput.Math.Appl., Automatica, J. Math. Anal. Appl., Chinese J. Contemp. Math., 中国科学,科学通报,数学学报等学术期刊上,论文300余篇,出版学术专著8部。有30多篇论文已被SCI,EI检索。本方向的学术专著《泛函微分方程》、《退化时滞微分方程》、《现代微分方程理论》和《微分方程复域定性理论》等已被国内许多大学选定为博士研究生和硕士研究生的主要教学用书。研究成果“微分系统理论与应用”,“时滞生态系统的概周期性及稳定性”分别获得2000年,2003年年获省自然科学三等奖。

三、概率极限理论。本方向主要研究概率极限理论中的若干前沿课题和热点问题,包括:概率的大偏差、重对数律、不变原理、线性与非线性模型中的极限定理等。

我们在以上方面作了较系统的研究,取得了一批成果。在线性模型中,研究了LS估计的大样本性质,建立了其强相合的一般性理论;在广义Friendman概率罐子模型中,建立了极限定理;研究了Φ-混合、线性过程等相依样本理论,获得了线性与非线性模型中一些极限定理,论证了统计决策理论中同变限制下的充分性原则,严密了同变决策问题的理论基础,建立了一些新的渐进有效性理论,发现了一些UMVUE不存在的奇异现象。

本方向成员在国内较早地参与了半参数模型的研究。半参数模型介于参数与非参数之间,在不少实际问题中,它是一种更接近于真实,又能充分利用样本所提供信息的模型,它是在应用中有重要意义且在理论上有挑战性的领域。我们侧重研究了半参数截断族模型及半参数回归模型,构造了一些估计量及检验统计量,并论证了它们的渐进正态性、渐进有效性、强相合性、最优收敛速度、Bootstrap逼近等,成果较为精细深入,引了起国内外关注。我们用概率极限理论研究了概率数论中的有关问题(如Erdos的若干猜想),取得了一些好的结果

该方向从1982年起培养硕士生,已培养出40多名优秀的硕士生。本方向的研究从84年起连续得到7项国家自然基金项目(其中1项为青年基金)的资助,项目批准号分别为:(83)科基金准字第132号,1870401,18901001(青年基金),19071002,19371001,19671001,19971001。陈桂景教授为中国科学技术大学兼职博士生导师,曾在香港国际多元分析会议上了作邀请报告,并多次应邀到美国、加拿大、新加坡等国家的十余所大学讲学和合作研究。

四、科学计算与算法复杂度。本研究方向主要研究科学计算与算法复杂性分析领域的若干前沿课题和热点问题,具体内容包括流体力学问题的数值求解、优化算法、数值问题计算的复杂性分析等,这是计算数学、近代流体力学和计算机科学等多学科交叉的一个研究方向。提出并实现了求解二维浅水问题的无结构网格上的一种复合型有限体积法;提出并实现了一种求解带弥散和吸附的径向渗流问题的局部化间断Galerkin有限元方法,并在理论上分析了该方法的误差与逼近阶;发展了求解含多种成份的二维浅水方程的有限体积-有限元相结合的数值方法,并分析了该方法的收敛性、稳定性。成功地完成了溃坝、超临界管道流等二维浅水运动以及径向渗流等流体运动的数值模拟,为流体运动相关领域的实际问题提供准确可靠的数值方法,并利用计算机动画模拟技术进行可视化计算。我们关于有限体积法的研究工作被PHILOSOPHICAL TRANSACTIONS OF THE ROYAL SOCIETY OF LONDON SERIES A-MATHEMATICAL PHYSICAL AND ENGINEERING SCIENCES,JOURNAL OF HYDRAULIC ENGINEERING,INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN FLUIDS, ADVANCES IN WATER RESOURCES 等SCI源期刊引用。本方向的研究工作在水力开发、石油开采、灾害预防、国防等方面有广泛应用,如海啸的模拟与预报、高密度比的界面追踪问题等。

本研究方向的特色之一是构造数值方法和实现数值模拟,在数值方法的稳定性、收敛性、误差估计以及算法复杂性等基础理论方面进行深入的研究,并给出有意义的结论。这一特色保证了本方向的研究成果在学术上的完整性、系统性和理论意义。本研究方向的另一特色是有很强的计算机应用技术背景,我们成功地完成了溃坝、超临界管道流等二维浅水运动以及径向渗流等流体运动的数值模拟,并利用计算机动画模拟技术进行可视化计算的研究。这一特色使得本方向的研究工作能真正解决实际问题。

研究成果发表在Inter J Numer Methods Fluids, Mathematics and Computers in Simulation, Computers & Fluids, J of System Science and Complexity, J of Applied Mathematics Quarter, Linear Algebra and Its Applications, 应用数学和力学, 应用数学学报, 计算物理等期刊上,发表学术论文近百篇,被SCI、EI、ISTP收录的论文有二十余篇。

本方向研究多次得到国家自然科学基金,科技部重大基础研究专项基金,省自然科学基金,武器装备预研基金的资助。与英国约克大学,中国科技大学,中科院渗流研究所,中科院应用物理与计算数学研究所等单位开展合作研究。有多名教授曾应邀到国际会议上作了邀请报告,以及到美国、英国、日本、加拿大、意大利、奥地利等国家的大学进行讲学和合作研究。

五、数值分析与计算代数。本研究方向主要研究数值分析与计算代数领域的若干前沿课题和热点问题,具体内容包括插值理论与数值代数,矩量问题,计算问题的代数表示,矩阵理论机器计算等。

本研究方向的特色之一是数值分析与代数中一个重要与基础领域:插值理论与数值代数。 插值理论起源于二十世纪初期,它是经典分析与代数的交叉内容,不仅涉及到科学计算同时又有很强的应用背景。特别是计算机科学的迅猛发展为插值理论与数值代数注入了新的活力,提供了一些新的方法和科学计算软件,也产生了一些新兴学科,如:计算机代数、计算机图形学、代数编码等,反过来数学理论的发展也推动着计算机科学的快速发展和应用于实际问题的解决。这是我们的一个重要的研究领域。

与数值代数中的插值理论密切相关的矩量问题是我们研究的另一领域,它来源于机械学,在地质勘探、电路与网络等方面也有很强的应用背景,它们合并成为经典分析中两个著名问题。经典的插值问题与矩量问题经过数十年的发展,逐渐被推广到矩阵值乃至算子值情形并出现了不同形式的研究方法。但是人们对插值问题和矩量问题的研究基本上是独立的,没能完全地认识到这两类问题之间的相互联系。我们的研究给出了这两类问题解集之间明确的对应关系,所用的Hankel/Toeplitz向量方法在国际上是首创的,并可用计算机来计算和检验,此方法成功解决若干函数类中的解析函数插值问题与相关的矩量问题之间的联系, 获得了这两类问题的可解性准则和解的唯一性准则与多解时的参数化表示,其结果发表在SCI期刊《Linear Algebra and Its Applications》上。我们将继续在这两类问题及其交叉领域展开多层面的研究。

本研究方向的另一特色是计算问题的代数表示。我们在这一重要领域进行了卓有成效的研究,取得了具有重要意义的研究成果。彻底解决了Tame遗传代数扩张代数的Generic表示的分类问题;研究了对偶扩张代数的Generic表示与代数扩张的关系问题;研究代数A的对偶扩张代数R的shod 子范畴;A-模范畴的倾斜对象与R-模范畴的倾斜对象之间的关系以及R的反变有限的子范畴;考虑了与著名的Nakayama猜想等价的Tachikawa猜想, 利用一类特殊函子对于一类扩张代数证明了猜想T2的正确性并肯定地回答了Auslander提出的一个问题. 对一般扩张代数 的Generic表示问题也是很有价值的结果。

与插值问题密切相联系的矩阵理论机器计算也是我们研究的一个重要领域,这些特殊矩阵在线性系统、拉制论、投入产出模型、信号传输、计算机与网络等方面有重要应用。近年来,涉及矩阵计算的文献层出不穷,如快速算法、矩阵分解与完全化、代数特征值、图的谱理论等,这些都是当前数值代数领域中的热门课题。

目前该研究方向取得了一系列突出的成就,论文一百多篇,大部分成果发表在《Linear Algebra and Its Applications》、 《中国科学》、《Comm. In Algebra》、《Asian J. Math.》、《Algebra Colloquium》、《数学年刊》、《数学学报》等知名刊物上,许多结果已被SCI等检索。本研究方向成员与国内、外同行专家保持了密切的学术联系。

六、决策分析与组合预测方法。本方向主要研究决策分析与组合预测中的若干热点和前沿问题,研究内容包括多属性决策中最优组合赋权方法,模糊判断矩阵的某些排序法及其性质,基于相关性指标的最优组合预测模型以及非线性加权平均的最优组合预测模型的组合结构特征,建立基于诱导有序加权平均算子最优组合预测模型等。从最大地利用信息这个角度,综合各种赋权法的特点,以离差平方和以及离差最大化为准则建立了最优组合赋权模型。在完全一致性互补判断矩阵等概念的基础上,给出了互补判断矩阵和积排序法的最优化理论基础,指出互补判断矩阵和积排序法的排序向量正好是某种偏差准则下的最优化模型的解;并证明了它具有一些性质,包括强条件下保序性,置换不变性等。给出了基于有效度元的预测有效度一般数学表达形式,针对基于一阶或二阶预测有效度的组合预测模型,提出了新的优性组合预测、预测方法优超和冗余度等概念;指出了简单平均组合预测方法至少是非劣性组合预测;并探讨了优性组合预测存在的充分条件;给出了冗余预测信息出现的判定定理,就一般的情况提出了基于预测有效度的组合预测模型近似求解方法。对基于向量夹角的余弦准则下最优组合预测模型,基于灰色关联度的最优组合预测模型,基于Theil不等系数的最优组合预测模型以及基于相关系数的最优组合预测模型的基本结构特征进行研究。在预测误差序列服从正态分布的假定下,证明了回归型组合预测模型权系数的LS估计为最佳线性无偏估计,并讨论了权系数的统计假设检验。在有序加权平均算子概念的基础上,提出基于诱导有序加权平均算子新的组合预测模型,给出了组合预测权系数的确定的数学规划方法。探讨了组合预测技术在证券组合投资决策等方面的应用研究。本方向开展的一系列颇具特色的研究工作丰富和发展了预测与决策领域的理论和应用。

本研究方向涉及预测与决策的许多热点研究课题。研究成果分别发表在《系统工程理论与实践 》、《 系统工程学报》、《管理科学学报 》、《 管理工程学报 》、《 模糊系统与数学 》、《系统工程与电子技术》、《 系统工程理论方法应用》等国内核心刊物上,其中有多篇学术论文已被EI检索。

主要学术带头人

杜先能:教授,男, 1955年8月生, 安徽肥西人。安徽大学副校长,基础数学专业博士点带头人、首批博士生导师。曾任《中国数学文摘》编委。全国优秀教师。中国数学会理事、安徽省数学会副理事长。主要从事环论与代数表示理论的研究,几年来承担国家自然科学基金项目3项;教育部重点项目、省自然科学基金等项目多项,发表学术论文60多篇。 1997年获安徽省自然科学二等奖;1998年教育部科技进步三等奖。1998年起享受省政府特殊津贴。

蒋 威:博士后,博士生导师,男,1959年8月出生,安徽五河人。安徽省高校学科带头人培养对象,安徽省跨世纪学术和技术带头人,安徽省数学会常务理事,副秘书长,《微分方程年刊》编委,安徽大学学位委员会委员,安徽大学数学科学学院院长。1998年在湖南大学应用数学系获博士学位。2000年东南大学自动化研究所博士后流动站出站。主持国家自然科学基金两项;主持省学术和技术带头人基金项目一项;主持省教学改革项目一项。曾主持完成国家博士后基金项目一项;主持完成省级项目两项;参加完成国家自然科学基金项目五项;以第一参加人,参加国家863计划高技术研究项目一项;参加国家杰出青年基金项目一项。主持完成的科研项目“微分系统理论”获得省自然科学奖;独立完成的科研项目“泛函微分方程及其稳定性”获得省高校科学进步奖。2004年获省级“模范教师”称号。发表学术论文100余篇,出版学术专著1部,出版教材7部,多篇论文被收入SCI、EI。

胡舒合:教授,曾任中国数学会理事,连任两届中国概率统计学会理事(1994-2002),省跨世纪学术和技术带头人。主持完成了一项国家自然科学基金项目,参与多项国家自然基金及青年基金项目的研究,目前正主持一项国家自然科学基金资助项目。已发表学术论文60多篇。多次参加了国内外概率统计学术会议,如第七届日中统计国际会议(2000年,东京);第五届泛华统计国际会议(2001年,香港大学);第54届国际统计学会议(2003年,柏林)等。

汪继文:博士,安徽大学博士生导师,省高校中青年学科带头人培养对象。三次获教学优秀奖,一次获省高校科技进步三等奖。参加了5项国家自然科学基金项目的研究工作,主持完成两项省教委项目。目前参加一项国家自然科学基金项目,主持一项省自然科学基金项目

吴化璋:博士后,现为安徽大学数学与计算科学学院教授。以第二参与人参加国家自然科学基金与教育部基金项目各1项,主持安徽省教育厅自然科学基金项目1项。在国内外学术期刊上已发表学术论文20多篇,其中2篇被SCI、EI收录。目前是SCI源期刊《Linear Algebra Appl.》、《Journal of Computational and Applied Mathematics》等期刊的审稿人。

陈华友:博士后,现为数学与计算科学学院教授,硕士生导师,安徽大学首届学术骨干。主持中国博士后科学基金(2004035209)一项和主持省教育厅自然科学基金(2002kj022,2005kj208)两项,另外还参与安徽省自然科学基金(050460102),安徽省教育厅自然科学基金(2004kj027)两项,已发表学术论文40多篇,参与编著一部由科学出版社出版的教材《数量经济分析》。




  
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